Esercizio 15 Disequazioni di grado superiore al secondo

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Traccia

x^4-x^3-x^2-x-2>0

Svolgimento

Per scomporre questo polinomio si può usare Ruffini, ma per questioni di spazio, useremo semplici operazioni algebriche per ridurre il polinomio:

(x^4-x^2-2)-(x^3+x)>0

(x^2-2)(x^2+1)-x(x^2+1)>0

(x^2+1)(x^2-x-2)>0

(x^2+1)(x-2)(x+1)>0

Analizziamo separatamente i 3 casi:

  • x^2+1>0

Avendo il \Delta=0-4=-4 negativo, guardando la tabella in

Disequazioni di secondo grado

possiamo subito affermare che questa disequazione è verificata

\forall x \in R.

  • x-2>0

x>2

  • x+1>0

x>-1

(-\infty;-1) (-1;2) (2;+ \infty)
I +++ +++ +++
II —- —- +++
III —- +++ +++
Risultato +++ —- +++

 

Analizzando il grafico, vedremo chiaramente che la disequazione:

(x^2+1)(x-2)(x+1)>0

è verificata per:

x<-1 \quad \lor \quad x>2
 

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