Esercizio 10 Disequazioni irrazionali relazionate da polinomio

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Traccia

\sqrt{x^2+4x+8}+x>0

\sqrt{x^2+4x+8}>-x

Svolgimento

Avendo una radice quadrata maggiore di un polinomio avremo necessità di lavorare su due sistemi, imponendo determinate condizioni e poi unendo le soluzioni:

\begin{cases} -x \geq 0 \\ x^2+4x+8 > x^2 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} -x < 0 \\ x^2+4x+8 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \leq 0 \\ 4x+8 > 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x > 0 \\ x^2+4x+8 \geq 0 \end{cases}

La disequazione di secondo grado sarà verificata per

    \[\forall x \in R\]

Unendo

\begin{cases} x \leq 0 \\ x> - 2 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x > 0 \\ \mbox{ indeterminata} \end{cases}

Mettendo a sistema le soluzioni, otterremo subito che la soluzione sarà:

    \[-2 < x \leq 0 \quad \lor \quad x > 0\]

.

 

Ci accorgiamo facilmente che questa disequazione sarà sempre verificata per x > -2

 

 

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