Esercizio 18 Disequazioni irrazionali relazionate da polinomio

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Traccia

\sqrt{2x-x^2}>x

Svolgimento

Avendo una radice quadrata maggiore di un polinomio avremo necessità di lavorare su due sistemi, imponendo determinate condizioni e poi unendo le soluzioni:

\begin{cases} x \geq 0 \\ 2x-x^2 > x^2 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 0 \\ 2x-x^2 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq 0 \\ 2x-2x^2 > 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 0 \\ x^2-2x \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq 0 \\ x^2-x < 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 0 \\ x^2-2x \geq 0 \end{cases}

Le disequazione di secondo grado saranno verificate per:

    \[0<x<1 \quad \wedge \quad x \leq 0 \quad \lor \quad x \geq 2\]

Unendo

\begin{cases} x \geq 0 \\ 0 <x< 1 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 0 \\ x \leq 0 \quad \lor \quad x \geq 2 \end{cases}

Mettendo a sistema le soluzioni, otterremo subito che la soluzione sarà:

    \[0<x<1 \quad \lor \quad x < 0\]

.

 

Ci accorgiamo facilmente che questa disequazione sarà sempre verificata per x < 1 \quad \mbox { con } \quad x \neq 0

 

 

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