Esercizio 20 Disequazioni irrazionali relazionate da polinomio

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Traccia

x<\sqrt{x^2-4}-4

\sqrt{x^2-4}>x+4

Svolgimento

Avendo una radice quadrata maggiore di un polinomio avremo necessità di lavorare su due sistemi, imponendo determinate condizioni e poi unendo le soluzioni:

\begin{cases} x+4 \geq 0 \\ x^2-4 > x^2+8x+16 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x+4 < 0 \\ x^2-4 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq -4 \\ 8x+20 <0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < -4 \\ x^2-4 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq -4 \\ x <- \frac 52 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < -4 \\ x^2-4 \geq 0 \end{cases}

Le disequazione di secondo grado saranno verificate per:

    \[ x \leq -2 \quad \lor \quad x \geq 2\]

Unendo

\begin{cases} x \geq -4 \\ x <- \frac 52 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < -4 \\ x \leq -2 \quad \lor \quad x \geq 2 \end{cases}

Mettendo a sistema le soluzioni, otterremo subito che la soluzione sarà:

    \[-4 \leq x <- \frac 52 \quad \mbox { e } \quad x < -4\]

.

 

Ci accorgiamo facilmente che questa disequazione sarà sempre verificata per x < -\frac 52

 

 

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