Esercizio 23 Disequazioni irrazionali relazionate da polinomio

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Traccia

\sqrt{x^2-8x+15}+2 \geq x

\sqrt{x^2-8x+15} \geq x -2

Svolgimento

Avendo una radice quadrata maggiore di un polinomio avremo necessità di lavorare su due sistemi, imponendo determinate condizioni e poi unendo le soluzioni:

\begin{cases} x-2 \geq 0 \\ x^2-8x+15 \geq x^2-4x+4 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x-2 < 0 \\ x^2-8x+15 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq 2 \\ 4x \leq 11 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 2 \\ x^2-8x+15 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq 2 \\ x \leq \frac { 11}{4} \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 2 \\ x^2-8x+15 \geq 0 \end{cases}

La disequazione di secondo grado sarà verificate per

    \[x \leq 3 \quad \lor \quad x \geq 5\]

Unendo

\begin{cases} x \geq 2 \\ x \leq \frac { 11}{4} \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 2 \\ x \leq 3 \quad \lor \quad x \geq 5 \end{cases}

Mettendo a sistema le soluzioni, otterremo subito che la soluzione sarà:

    \[2 \leq x \leq \frac {11}{4} \quad \mbox{ e }\quad x < 2\]

.

 

Ci accorgiamo facilmente che questa disequazione sarà sempre verificata per x \leq \frac {11}{4}

 

 

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