Esercizio 28 Disequazioni irrazionali relazionate da polinomio

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Traccia

\sqrt{x^2-15x+50}-5>x

\sqrt{x^2-15x+50}>x+5

Svolgimento

Avendo una radice quadrata maggiore di un polinomio avremo necessità di lavorare su due sistemi, imponendo determinate condizioni e poi unendo le soluzioni:

\begin{cases} x+5 \geq 0 \\ x^2-15x+50 > x^2+10x+25 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x+5 < 0 \\ x^2-15x+50 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq -5 \\ -25x > -25 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < -5 \\ x^2-15x+50 \geq 0 \end{cases}

Notiamo che la disequazione di secondo grado sarà verificate per

    \[x \leq 5 \quad \lor \quad x \geq 10\]

Unendo

\begin{cases} x \geq -5 \\ x< 1 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < -5 \\ x \leq 5 \quad \lor \quad x \geq 10 \end{cases}

Mettendo a sistema le soluzioni, otterremo subito che la soluzione sarà:

    \[-5 \leq x <1 \quad \mbox{ e }\quad x < -5\]

.

 

Ci accorgiamo facilmente che questa disequazione sarà sempre verificata per x <1

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