Esercizio 15 Disequazioni letterali

Traccia

$(1-a)x^2+4>0$

Svolgimento

Prima di tutto è forndamentale calcolare il $\Delta$ , che ci può permettere di trovare immediatamente la soluzione:

$a=1-a$

$b=0$

$c=4$

$\Delta= b^2-4ac=-16(1-a)=16(a-1)$

Ci troveremo di fronte a due casi:

Rendendo positivo il coefficiente della $x^2$ , avremo:

$(a-1)x^2-4<0$

analizzando la tabella al seguente link:

vediamo che dobbiamo trovare le soluzioni dell’equazione associata:

$(a-1)x^2-4=0$

$x_{\frac 12}=\frac {\pm 4\sqrt{a-1 }}{2(a-1)}$

$x_1=\frac {-4\sqrt{ a-1 }}{2(a-1)}=-\frac {2}{\sqrt{a-1}}$

$x_1=\frac {4\sqrt{ a-1 }}{2(a-1)}=\frac {2}{\sqrt{a-1}}$

Quindi, avremo che la disequazione

$(a-1)x^2-4<0$

è verificata per $-\frac {2}{\sqrt{a-1}} < x < \frac {2}{\sqrt{a-1}}$ .

Allora, senza bisogno di ulteriori calcoli, la disequazione

$(1-a)x^2+4>0$

è verificata $\forall x \in R$ .
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