Esercizio 10 Valori assoluti: disequazioni in cui compaiono valori assoluti

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Soluzione e svolgimento della seguente disequazione con valore assoluto

Traccia

\left | x+3\right |<x^2+4

Svolgimento

Per svolgere queste disequazioni basterà studiare due sistemi separati e poi unire le soluzioni. Innanzitutto studiamo la positività del modulo, dove per comodità, trascriviamo solo il risultato:

  • x+3 \geq 0 \mbox { positivo per } x\geq -3

\begin{cases} x \geq 3 \\ x+3<x^2+4 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 3 \\ -x-3<x^2+4 \end{cases}

\begin{cases} x \geq 3 \\ x^2+4-x-3>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 3 \\ x^2+4+x+3>0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq 3 \\ x^2-x+1>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 3 \\ x^2+x+7>0 \end{cases}

Sia nel primo sistema che nel secondo sistema avremo che le disequazioni sono sempre verificate cosicchè:

\begin{cases} x \geq 3 \\ \mbox{ indeterminata } \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 3 \\ \mbox{ indeterminata } \end{cases}

 

Quindi, analizzando le soluzioni dei singoli sistemi avremo:

  • x \geq 3
  • x < 3

Unendo le due soluzioni, quella dell’esercizio iniziale è quindi:

\forall x \in R.

 

 

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