Esercizio 2 Valori assoluti: disequazioni in cui compaiono valori assoluti

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Soluzione e svolgimento della seguente disequazione con valore assoluto

Traccia

\left | x^2-4\right |<5

Svolgimento

Per svolgere queste disequazioni basterà studiare due sistemi separati e poi unire le soluzioni. Innanzitutto studiamo la positività del modulo, dove per comodità, trascriviamo solo il risultato:

  • x^2-4 \geq 0 \Rightarrow x \leq -2 \quad \lor \quad x \geq 2

 

\begin{cases} x \leq -2 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ x^2-4<5 \end{cases} \qquad \begin{cases} -2<x<2 \\ x^2-4>-5 \end{cases}

\begin{cases} x \leq -2 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ x^2-9<0 \end{cases} \qquad \begin{cases} -2<x<2 \\ x^2+1>0 \end{cases}

\begin{cases} x \leq -2 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ -3<x<3 \end{cases} \qquad \begin{cases} -2<x<2 \\ \forall x \in R \end{cases}

Quindi, analizzando le soluzioni dei singoli sistemi avremo:

  • -3<x\leq -2 \quad \wedge \quad 2 \leq x <3
  • -2<x<2

Unendo le due soluzioni, quella dell’esercizio iniziale è quindi:

-3<x<3.

 

 

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