Esercizio 3 Valori assoluti: disequazioni in cui compaiono valori assoluti

Soluzione e svolgimento della seguente disequazione con valore assoluto

Traccia

$\left | \frac {x^2-1}{x-2}\right |<2$

Svolgimento

Per svolgere queste disequazioni basterà studiare due sistemi separati e poi unire le soluzioni. Innanzitutto studiamo la positività del modulo, dove per comodità, trascriviamo solo il risultato:

$\frac {x^2-1}{x-2} \geq 0 \Rightarrow -1 \leq x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 2$

$\begin{cases} -1 \leq x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ \frac {x^2-1}{x-2}<2 \end{cases} \qquad \begin{cases} x<-1 \quad \lor \quad 1<x<2 \\ \frac {x^2-1}{x-2}>-2 \end{cases}$

$\begin{cases} -1 \leq x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ \frac {x^2-1}{x-2}-2<0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x<-1 \quad \lor \quad 1<x<2 \\ \frac {x^2-1}{x-2}+2>0 \end{cases}$

$\begin{cases} -1 \leq x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ \frac {x^2-1-2x+4}{x-2}<0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x<-1 \quad \lor \quad 1<x<2 \\ \frac {x^2-1+2x-4}{x-2}>0 \end{cases}$

$\begin{cases} -1 \leq x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ \frac {x^2-2x+3}{x-2}<0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x<-1 \quad \lor \quad 1<x<2 \\ \frac {x^2+2x-5}{x-2}>0 \end{cases}$

Nel primo sistema avremo:

$\frac {x^2-2x+3}{x-2}<0$

dove il numeratore è positivo per ogni valore dell’incognita (il $\Delta$ è negativo), e quindi la disequazione è verificata per $x<2$ .

Nel secondo sistema avremo:

$\frac {x^2+2x-5}{x-2}>0$

dove il numeratore è positivo per $x < -1-\sqrt 6 \quad \lor \quad x>\sqrt 6 -1$ e il denominatore è positivo per $x >2$ ; quindi la disequazione è verificata per

$-1-\sqrt 6 <x<\sqrt 6 -1 \quad \lor \quad x> 2$

$\begin{cases} -1 \leq x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ x<2 \end{cases} \qquad \begin{cases} x<-1 \quad \lor \quad 1<x<2 \\ -1-\sqrt 6 <x<\sqrt 6-1 \quad \lor \quad x> 2 \end{cases}$