Esercizio 29 Disequazioni irrazionali contenenti radicali quadratici

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Traccia

\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}<1

Svolgimento

Essendo una disequazione irrazionale, bisognerà innanzitutto verificare le condizioni di esistenza delle radici, e poi elevare tutto al quadrato, svolgendo semplicemente i calcoli.

C.E. :

    \[\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}} \geq 0 \Rightarrow x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq1\]

 

Eleviamo tutto al quadrato

\frac{x^2-1}{x^2+1}<1

\frac{x^2-1}{x^2+1}-1<0

\frac{x^2-1-x^2-1}{x^2+1}<0

\frac{-22}{x^2+1}<0

Questa ammetterà soluzioni

    \[\forall x \in R\]

.

Intersecando la soluzione con le condizioni, otteremo proprio le stesse condizioni di esistenza, ovvero, la disequazione iniziale è verificata per

x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq1.

 

 

 

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