Esercizio 33 Disequazioni irrazionali contenenti radicali quadratici

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Traccia

\sqrt{\frac{x^2-1}{2+x}}<\sqrt{x}

Svolgimento

Essendo una disequazione irrazionale, bisognerà innanzitutto verificare le condizioni di esistenza delle radici, e poi elevare tutto al quadrato, svolgendo semplicemente i calcoli.

C.E. :

    \[\frac{x^2-1}{2+x} \geq 0 \Rightarrow -2<x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 1\]

    \[x \geq 0\]

 

Eleviamo tutto al quadrato

\frac{x^2-1}{2+x}<x

\frac{x^2-1}{2+x}-x<0

\frac{x^2-1-2x-x^2}{2+x}<0

\frac{-2x-1}{2+x}<0

\frac{2x+1}{2+x}>0

Questa disequazione è verificata per

x<-2 \quad \lor \quad x> -\frac 12

Intersecando la soluzione con le condizioni, otterremo che:

x\geq 1.

 

 

 

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