Equazione biquadratica 13

$x^4-2(4+\sqrt 3)x^2+8(2+\sqrt 3)=0$

Svolgiamola come equazione di secondo grado, ma calcoliamo prima a parte il $\Delta$ .

$a=1$

$b=-2(4+\sqrt 3)$

$c=8(2+\sqrt 3)$

$\Delta=4(4+\sqrt 3)^2-32(2+\sqrt 3)=4(16+8\sqrt 3 + 3)-64-32\sqrt 3= 64+32\sqrt 3+12-64-32\sqrt 3=12$

Quindi adesso calcoliamo le due soluzioni:

$x^2_{\frac 12}=\frac {2(4+\sqrt 3) \pm \sqrt {12}}{2}$

$x^2_{\frac 12}=\frac {2(4+\sqrt 3) \pm 2\sqrt {3}}{2}$

$x^2_1=\frac {8+2\sqrt 3 - 2\sqrt {3}}{2}=\frac 82=4$

$x^2_2=\frac {8+2\sqrt 3 + 2\sqrt {3}}{2}=\frac {8+4\sqrt 3}{2}=4+2\sqrt 3$

Quindi:

$x^4-2(4+\sqrt 3)x^2+8(2+\sqrt 3)=(x^2-4)(x^2-4-2\sqrt3)$

E discutiamo i due casi:

$x^2=4$

$x^2=\pm 2$

$x^2=4+2\sqrt 3$

$x=\pm \sqrt {4+2\sqrt 3}$

$x=\pm \sqrt {(1+\sqrt 3)^2}$

$x=\pm (1+\sqrt 3)$ .

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