Equazione reciproca 6

$ax^3-(a^2-a+1)x^2-(a^2-a+1)x+a=0$

Essendo un’equazione reciproca ammetterà sempre come soluzione uno tra $\pm 1$ .

In questo caso ammetterà come soluzione $-1$ e quindi usiamo ruffini per scomporre:

Quindi:

$ax^3-(a^2-a+1)x^2-(a^2-a+1)x+a=(x+1)(a x^2 -(a^2+1)x + a)$

Distinguiamo i 2 casi:

$x=-1$

$a=a$

$b=-(a^2+1)$

$c=a$

$x_{\frac 12}= \frac {a^2+1\pm \sqrt {a^4+2a^2+1-4a^2}}{ 2a}$

$x_{\frac 12}=\frac {a^2+1 \pm \sqrt {a^4-2a^2+1} }{2a}$

$x_{\frac 12}=\frac {a^2+1 \pm \sqrt {(a^2-1)^2} }{2a}$

$x_{\frac 12}=\frac {a^2+1 \pm (a^2-1) }{2a}$

$x_1=\frac {a^2+1- a^2+1 }{2a}= \frac {2}{2a} =\frac 1a$

$x_2=\frac {a^2+1+a^2-1 }{2a}= \frac {2a^2}{2a} = a$ .

Quindi l’equazione $ax^3-(a^2-a+1)x^2-(a^2-a+1)x+a=0$ ammetterà come soluzioni:

$x=\frac 1a \, \, \lor \, \, x= a \, \, \lor \, \, x=-1$

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