Esercizio 7 Formule di addizione e sottrazione

Traccia

$tg(45^\circ+x)=2+3tgx$

Svolgimento

Per svolgere questa equazione bisogna utilizzare la formula di addizione:

$tg(\alpha+\beta)=\frac {tg \alpha + tg \beta}{1-tg\alpha tg \beta}$ .

Sfruttando questa espressione nell’equazione iniziale, otteniamo:

$tg(45^\circ+x)=2+3tgx$

$\frac {tg 45^\circ + tg x}{1-tg 45^\circ tg x}=2+3tgx$

$\frac {1 + tg x}{1-tg x}=2+3tgx$

$\frac {1 + tg x}{1-tg x}=\frac {(2+3tgx)(1-tgx)}{1-tgx}$

Imponendo che:

$tg \neq 1$

otteniamo:

$1+tgx=2-2tgx+3tgx-3tg^2x$

$3tg^2x-1=0$

$tg^2x=\frac 13$

$tgx=\pm \frac {1}{\sqrt 3}=\pm \frac {\sqrt 3}{3}$

Da cui avremo come soluzione:

$tgx= \frac {\sqrt 3}{3} \Rightarrow x= 30^\circ \quad \lor \quad x= 210^\circ$ .

$tgx= - \frac {\sqrt 3}{3} \Rightarrow x= 150^\circ \quad \lor \quad x= 330^\circ$ .

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