Esercizio 8 Formule di addizione e sottrazione

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Traccia

tg(x-45^\circ)-tgx=2(1-\sqrt 3)

Svolgimento

Per svolgere questa equazione bisogna utilizzare la formula di addizione:

tg(\alpha-\beta)=\frac {tg \alpha - tg \beta}{1+tg\alpha tg \beta}.

Sfruttando questa espressione nell’equazione iniziale, otteniamo:

tg(x-45^\circ)-tgx=2(1-\sqrt 3)

\frac {tg x - tg 45^\circ}{1+tgx tg 45^\circ}-tgx=2(1-\sqrt 3)

\frac {tg x - 1}{1+tgx }-tgx=2(1-\sqrt 3)

\frac {tg x - 1}{1+tgx }-tgx=\frac {(2(1-\sqrt 3))(1+tgx)}{1+tgx}

Imponendo che

tgx \neq -1

otteniamo:

tgx-1-tgx-tg^2x=2+2tgx-2\sqrt3 -2\sqrt 3 tgx

tg^2x+tgx(2-2\sqrt 3)+3-2\sqrt3 =0

tgx_{\frac 12}=\frac {2\sqrt 3-2 \pm \sqrt {12 + 4 -8\sqrt 3-12+8\sqrt 3 }}{2}

tgx_{\frac 12}=\frac {2\sqrt 3-2 \pm \sqrt { 4 }}{2}

tgx_{\frac 12}=\frac {2\sqrt 3-2 \pm 2}{2}

tgx_1=\frac {2\sqrt 3}{2}=\sqrt 3

tgx_2=\frac {2\sqrt 3+4}{2}=\sqrt 3+2

Da cui:

x_1=60^\circ+k180^\circ

x_2=arctg(\sqrt 3+2).

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