Esercizio 5 formula di bisezione

Traccia

$cos^2\frac x2 - sen^2 \frac x2 = \sqrt 2 cos ^2x$

Svolgimento

Per risolvere questa equazione dobbiamo prima usare la formula:

$sen \frac x2 = \pm \sqrt {\frac {1-cosx}{2}}$

$cos \frac x2 = \pm \sqrt {\frac {1+cosx}{2}}$

Da cui, sostituendo nell’equazione iniziale otteniamo:

$\frac {1+cosx}{2} - \frac {1-cosx}{2} = \sqrt 2 cos ^2x$

$\frac {1+cosx-1+cosx}{2}= \sqrt 2 cos ^2x$

$\frac {2cosx}{2}= \sqrt 2 cos ^2x$

$cosx= \sqrt 2 cos ^2x$

$\sqrt 2 cos ^2x-cosx=0$

$cosx(\sqrt 2 cos -1)=0$ .

Distinguiamo due casi:

che ammetterà come soluzioni:

$x=\frac 12 \pi \quad \lor \quad x=\frac {3}{2} \pi$ .

$cosx=\frac {1}{\sqrt 2}$

$cosx=\frac {\sqrt2}{2}$

che ammetterà come soluzioni:

$x=\frac 14 \pi \quad \lor \quad x=\frac {7}{4} \pi$ .

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