Esercizio 10 Formule di prostaferesi e werner

Traccia

$cos x cos 3x = cos 4x cos 2x$

Svolgimento

Utilizziamo le formule di prostaferesi, che ci dicono che:

$cos(\alpha)cos(\beta)=\frac 12 [cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)]$

e sostituendo nell’equazione otteniamo:

$\frac 12 [cos(x+3x)+cos(x-3x)]=\frac 12 [cos(4x+2x)+cos(4x-2x)]$

Moltiplicando tutto per $2$ otteniamo:

$cos(4x)+cos(-2x)=cos(6x)+cos(2x)$

Ricordandosi che $cos(\alpha)=cos(-\alpha)$ otteniamo:

$cos (4x)=cos(6x)$

Da qui, sfruttando le formule di prostaferesi sull’equazione:

$cos(6x)-cos(4x)=0$

otteniamo:

$-2sen \frac {6x+4x}{2} sen {6x-4x}{2}=0$

da cui:

$sen5x senx=0$

da cui avremo due casi:

$5x= k \pi \Rightarrow x= \frac 15 k \pi$

$x= k \pi$

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