Esercizio 13 Formule di prostaferesi e werner

Traccia

$sen x cos 2x = sen 2x cos 3x$

Svolgimento

Utilizziamo le formule di werner, che ci dicono che:

$sen(\alpha)cos(\beta)=\frac 12 [sen(\alpha+\beta)+sen(\alpha-\beta)]$

e sostituendo nell’equazione otteniamo:

$\frac 12 [sen(x+2x)+sen(x-2x)]=\frac 12 [sen(2x+3x)+sen(2x-3x)]$

Moltiplicando tutto per $2$ otteniamo:

$sen (3x) sen(-x)=sen (5x)+sen(-x)$

$sen (5x) - sen(3x)=0$

utilizziamo prostaferesi per ottenere:

$2cos\frac {5x+3x}{2}sen\frac {5x-3x}{2}=0$

da cui avremo:

$cos (4x)sen(x)=0$

da cui avremo due casi:

$4x= \frac 12 \pi + k \pi \Rightarrow x= \frac 1{8} \pi + \frac k4 \pi$

$x= k \pi$

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