Esercizio 14 Formule di prostaferesi e werner

Traccia

$sen 2x sen x= sen 4x sen 3x$

Svolgimento

Utilizziamo le formule di werner, che ci dicono che:

$sen(\alpha)sen(\beta)=\frac 12 [cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha-\beta)]$

e sostituendo nell’equazione otteniamo:

$\frac 12 [cos(2x-x)-cos(2x+x)]=\frac 12 [cos(4x-3x)-cos(4x+3x)]$

Moltiplicando tutto per $2$ otteniamo:

$cos (x)- cos(3x)=cos (x)-cos(7x)$

$cos (7x) - cos(3x)=0$

utilizziamo prostaferesi per ottenere:

$-2sen\frac {7x+3x}{2}sen\frac {7x-3x}{2}=0$

da cui avremo:

$sen (5x)sen(2x)=0$

da cui avremo due casi:

$5x= k \pi \Rightarrow x= \frac k5 \pi$

$2x= k \pi \Rightarrow x= \frac k2 \pi$

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