Esercizio 9 Formule di prostaferesi e werner

Traccia

$tg 2x + tg x = tg 3x$

Svolgimento

Utilizziamo le formule di prostaferesi, che ci dicono che:

$tg(\alpha)+tg(\beta)=\frac {sen(\alpha+\beta)}{cos(\alpha)cos(\beta)}$

e sostituendo nell’equazione otteniamo:

$\frac {sen(2x+x)}{cos(2x)cos(x)}=\frac {sen3x}{cos3x}$

$\frac {sen(3x)}{cos(2x)cos(x)}-\frac {sen3x}{cos3x}=0$

$sen 3x (\frac {1}{cosxcos2x}-\frac {1}{cos3x})=0$

da cui avremo due casi:

$3x= k \pi \Rightarrow x= \frac 13 k \pi$

Utilizzando Werner per i coseni otteniamo:

$\frac 12 [cos (3x)+cosx]=cos3x$

Moltiplicando tutto per 2 otteniamo:

$cos3x+cosx=2cos3x$

$cosx=cos3x$

Quindi dobbiamo avere l’uguaglianza tra argomenti:

$3x=x+2k \pi \Rightarrow 2x=2k\pi \Rightarrow x=k\pi$

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