Esercizio 8 equazioni lineari in seno e coseno

Traccia

$5 cos x + 2 sen x = 2$

Svolgimento

Questa equazione non è proprio immediata, ma bisognerà adottare un artificio, ovvero l’elevazione al quadrato di ambo i membri:

$(2sen x + 5cos x)^2 = 2^2$

$4sen^2x+20senxcosx+25cos^2x=4$

Se notiamo poi che $4$ lo possiamo anche scrivere come $4(sen^2x+cos^2x)$ , visto che equivale a moltiplicare per $1$ , otteniamo:

$4sen^2x+20senxcosx+25cos^2x=4sen^2x+4cos^2x$

$4sen^2x+20senxcosx+25cos^2x-4sen^2x-4cos^2x=0$

$20senxcosx+21cos^2x=0$

$cosx(20senx+21cosx)=0$

Quindi avremo due casi:

Dividendo tutto per $tgx$ otteniamo:

$20tgx+21=0$

$tgx=-\frac {21}{20}$ Da cui otteniamo come soluzione:

$x=arctg -\frac {21}{20}+ k180^\circ$

Da cui otteniamo come soluzione:

$x=90^\circ + k180^\circ$

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