Esercizio 9 equazioni lineari in seno e coseno

Traccia

$cos x + 1 + \sqrt 3 sen x = 0$

Svolgimento

$cos x + \sqrt 3 sen x = -1$

Questa equazione non è proprio immediata, ma bisognerà adottare un artificio, ovvero l’elevazione al quadrato di ambo i membri:

$(cos x + \sqrt 3 sen x )^2= (-1)^2$

$cos^2 x + 2\sqrt 3 senxcosx + 3 sen^2 x= 1$

Se notiamo poi che $1$ lo possiamo anche scrivere come $(sen^2x+cos^2x)$ , visto che equivale a moltiplicare per $1$ , otteniamo:

$3sen^2x+2\sqrt 3senxcosx+cos^2x=sen^2x+cos^2x$

$2sen^2x+2\sqrt 3senxcosx=0$

Dividendo per $2$ e mettendo in evidenza otteniamo:

$senx(senx+\sqrt3 cosx)=0$

Quindi avremo due casi:

Da cui otteniamo come soluzione:

$x=k180^\circ$

Dividendo tutto per $cosx$ otteniamo una equazione in funzione della sola $tg$ :

$tgx+\sqrt3=0$

$tgx=-\sqrt 3$

$x=120^\circ + k 180^\circ$

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