Esercizio 10 equazioni riconducibili ad una sola funzione goniometrica

Traccia

$tgx+cotgx=4$

Svolgimento

Per ricondurre tutto ad un unica funzione goniometrica dobbiamo utilizzare l’uguaglianza

$cotgx=\frac {1}{tgx}$

e sostituendo questa nell’equazione iniziale, otteniamo:

$tgx+\frac 1 {tgx}=4$

Imponendo la condizione di esistenza:

$tgx \neq 0$ ,

otteniamo:

$tg^2 x + 1= 4tg x$

$tg^2 x -4tg x +1 =0$

da cui avremo:

$tg_{\frac 12}x=\frac {4 \pm \sqrt {16-4}}{2}$

$tg_{\frac 12}x=\frac {4 \pm \sqrt {12}}{2}$

$tg_{\frac 12}x=\frac {4 \pm2 \sqrt {3}}{2}$

$tg_{\frac 12}x=2 \pm \sqrt {3}$

che darà come soluzioni:

$x= 15^\circ + k180^\circ$

$x= 75^\circ + k180^\circ$

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