Esercizio 5 equazioni riconducibili ad una sola funzione goniometrica

Traccia

$4sen^2 x + 3 tg^2x = 12$

Svolgimento

Per ricondurre tutto ad un unica funzione goniometrica dobbiamo utilizzare l’uguaglianza

$tgx=\frac {senx}{cosx}$ ,

e sostituendo questa nell’equazione iniziale, otteniamo:

$4sen^2 x + 3 \frac {sen^2x}{cos^2x} = 12$

Imponendo la condizione di esistenza:

$cosx \neq 0$ ,

otteniamo:

$4sen^2cos^2x+3sen^2x-12cos^2x=0$

imponendo che $cos^2x=1-sen^2x$ , avremo:

$4sen^2x(1-sen^2x)+3sen^2x-12(1-sen^2x)=0$

$4sen^2x-4sen^4x+3sen^2x-12+12sen^2x=0$

$-4sen^4x+19sen^2x-12=0$

$4sen^4x -19sen^2x +12=0$

$sen^2_{\frac 12}x=\frac {19 \pm \sqrt {361-192}}{8}$

$sen^2_{\frac 12}x=\frac {19 \pm \sqrt {169}}{8}$

$sen^2_{\frac 12}x=\frac {19 \pm 13}{8}$

$sen^2_1x=\frac {19 - 13}{8}=\frac 34$

$sen^2_2x=\frac {19 + 13}{8}= 4$

Di queste due la seconda è chiaramente inaccettabile in quanto $-1 \leq senx \leq 1$ , quindi dalla prima avremo:

$senx= \pm \frac {\sqrt 3}{2}$

da cui avremo:

$x= 60^\circ + k180^\circ$

$x= 120^\circ + k180^\circ$

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