Esercizio 8 equazioni riconducibili ad una sola funzione goniometrica

Traccia

$cotg^2x-3sec^2x+5=0$

Svolgimento

Per ricondurre tutto ad un unica funzione goniometrica dobbiamo utilizzare l’uguaglianza

$cotgx=\frac {cosx}{senx}$ , e

$secx=\frac {1}{cosx}$

e sostituendo questa nell’equazione iniziale, otteniamo:

$(\frac {cosx}{senx})^2x-3(\frac 1 {cosx})^2x+5=0$

Imponendo la condizione di esistenza:

$cosx \neq 0 \quad \wedge \quad senx \neq 0$ ,

otteniamo:

$cos^4x-3sen^2x+5sen^2xcos^2x=0$

imponendo che $sen^2x =1-cos^2x$ , avremo:

$cos^4x-3(1-cos^2x)+5(1-cos^2x)cos^2x=0$

$cos^4x-3+3cos^2x+5cos^2x-5cos^4x=0$

$-4cos^4x+8cos^2x-3=0$

$4cos^4x-8cos^2x+3=0$

da cui avremo:

$cos^2_{\frac 12}x=\frac {8\pm \sqrt {64-48}}{8}$

$cos^2_{\frac 12}x=\frac {8\pm \sqrt {16}}{8}$

$cos^2_{\frac 12}x=\frac {8\pm 4}{8}$

$cos^2_1x=\frac {8 - 4}{8}=\frac 12$

$cos^2_2x=\frac {8\pm 4}{8}= \frac 32$

Come vediamo la seconda soluzione non sarà accettabile perchè maggiore di 1, invece per la prima avremo:

$cosx=\pm \frac {\sqrt 2}{2}$

che darà come soluzioni:

$x=45^\circ + k90^\circ$

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