Esercizio 9 equazioni riconducibili ad una sola funzione goniometrica

Traccia

$cos x + sec x = \frac 32 \sqrt 2$

Svolgimento

Per ricondurre tutto ad un unica funzione goniometrica dobbiamo utilizzare l’uguaglianza

$secx=\frac {1}{cosx}$

e sostituendo questa nell’equazione iniziale, otteniamo:

$cos x + \frac {1}{cosx} = \frac 32 \sqrt 2$

Imponendo la condizione di esistenza:

$cosx \neq 0 \quad \wedge \quad senx \neq 0$ ,

otteniamo:

$cos^2 x + 1= \frac 32 \sqrt 2 cosx$

$cos^2 x - \frac 32 \sqrt 2 cosx+1=0$

$2cos^2 x -3 \sqrt 2 cosx+2=0$

da cui avremo:

$cos_{\frac 12}x=\frac {3\sqrt 2 \pm \sqrt {18-16}}{4}$

$cos_{\frac 12}x=\frac {3\sqrt 2 \pm \sqrt {2}}{4}$

$cos_1x=\frac {3\sqrt 2 - \sqrt 2}{4}=\frac {\sqrt 2}{2}$

$cos_2x=\frac {3 \sqrt 2 +\sqrt2}{4}= \sqrt 2$

Come vediamo la seconda soluzione non sarà accettabile perchè maggiore di 1, invece per la prima avremo:

$cosx= \frac {\sqrt 2}{2}$

che darà come soluzioni:

$x=\pm 45^\circ + k360^\circ$

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