Esercizio 5 Sistemi in cui compaiono disequazioni frazionarie o di grado superiore al primo

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Traccia

\begin{cases} x^2-4x+3 \leq 0 \\ x^2-4>0 \end{cases}

Svolgimento

\begin{cases} (x-3)(x-1) \leq 0 \\ (x+2)(x-2)>0 \end{cases}

Per la due disequazioni dobbiamo innanzitutto considerare il risultato nel complesso, quindi:

  • x-3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3
  • x-1 >0 \Rightarrow x> 1
(-\infty;1) (1;3] [3;+\infty)
x-3 \geq 0 —- —- +++
x-1 >0 —- +++ +++
Ris +++ —- +++

 

  • x-2 > 0 \Rightarrow x > 2
  • x+2 >0 \Rightarrow x>-2

 

(-\infty;-2) (-2;2) (2;+\infty)
x-2 > 0 —- —- +++
x+2>0 —- +++ +++
Ris +++ —- +++

 

Inserendo i risultati nel sistema otteniamo:

 

\begin{cases} 1<x \leq 3 \\ x<-2 \quad \lor \quad x>2 \end{cases}

 

Facendo il grafico dell’intero sistema otteniamo:

(-\infty;-2) (-2;1) (1;2) (2;3] [3;+\infty)
I +++ +++
II +++ +++ +++
Ris +++

 

da cui si evince che la soluzione sarà:

2<x\leq 3

 

 

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