Esercizio 2 Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo

Traccia

$\begin{cases} x^2+y^2=10 \\ xy=3 \end{cases}$

Svolgimento

Per risolvere questo sistema bisogna prima di tutto ricondurlo in una forma particolare ricordando che:

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ ,

da cui avremo:

$\begin{cases} (x+y)^2-2xy=10 \\ xy=3 \end{cases}$

Sostituendo ora il valore di $xy$ otteniamo:

$\begin{cases} (x+y)^2-6=10 \\ xy=3 \end{cases}$

$\begin{cases} (x+y)^2=16 \\ xy=3 \end{cases}$

$\begin{cases} x+y=\pm 4 \\ xy=3 \end{cases}$

Quindi avremo:

$\begin{cases} x+y=-4 \\ xy=3 \end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases} x+y=4 \\ xy=3 \end{cases}$

che ammetteranno le due equazioni:

$z^2+4z+3=0 \qquad \lor \qquad z^2-4z+3=0$

che daranno come soluzioni:

$z_1= -3 \quad \lor \quad z_2=-1 \quad$ la prima equazione e

$z_3= 1 \quad \lor \quad z_4= 3 \quad$ la seconda equazione.

Le 4 coppie di soluzioni saranno:

$(-3,-1); (-1,-3);(1,3);(3,1).$

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