Esercizio 3 Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo

Traccia

$\begin{cases} x^2+y^2=\frac 52 \\ xy=\frac 34 \end{cases}$

Svolgimento

Per risolvere questo sistema bisogna prima di tutto ricondurlo in una forma particolare ricordando che:

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ ,

da cui avremo:

$\begin{cases} (x+y)^2-2xy=\frac 52 \\ xy=\frac 34 \end{cases}$

Sostituendo ora il valore di $xy$ otteniamo:

$\begin{cases} (x+y)^2-\frac 32=\frac 52 \\ xy=\frac 34 \end{cases}$

$\begin{cases} (x+y)^2=4 \\ xy=\frac 34 \end{cases}$

$\begin{cases} x+y=\pm 2 \\ xy=\frac 34 \end{cases}$

Quindi avremo:

$\begin{cases} x+y=-2 \\ xy=\frac 34 \end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases} x+y=2 \\ xy=\frac 34 \end{cases}$

che ammetteranno le due equazioni:

$z^2+2z+\frac 34=0 \qquad \lor \qquad z^2-2z+\frac 34=0$

che daranno come soluzioni:

$z_1= -\frac 32 \quad \lor \quad z_2=-\frac12 \quad$ la prima equazione e

$z_3= \frac12 \quad \lor \quad z_4= \frac32 \quad$ la seconda equazione.

Le 4 coppie di soluzioni saranno:

$(-\frac32,-\frac12); (-\frac12,-\frac32);(\frac12,\frac32);(\frac32,\frac12).$

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