Esercizio 5 Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo

Traccia

$\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ x+y+xy=1 \end{cases}$

Svolgimento

Per risolvere questo sistema bisogna prima di tutto ricondurlo in una forma particolare ricordando che:

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ ,

da cui avremo:

$\begin{cases} (x+y)^2-2xy=1 \\ xy=1-x-y \end{cases}$

Sostituendo ora il valore di $xy$ otteniamo:

$\begin{cases} (x+y)^2-2(1-x-y)-1=0 \\ xy=1-(x+y) \end{cases}$

$\begin{cases} (x+y)^2+2(x+y)-3=0 \\ xy=1-(x+y) \end{cases}$

Possiamo notare come la prima equazione sia un trinomio speciale del tipo:

$t^2+2t-3=0 \Rightarrow (t+3)(t-1)=0$

Quindi avremo:

$\begin{cases} x+y=-3 \\ xy=1+3 \end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases} x+y=1 \\ xy=1-1 \end{cases}$

$\begin{cases} x+y=-3 \\ xy=4 \end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases} x+y=1 \\ xy=0 \end{cases}$

che ammetteranno le due equazioni:

$z^2+3z+4=0 \qquad \lor \qquad z^2-z=0$

che ammetterà soluzioni solo nella seconda equazione:

$z_1= 0 \quad \lor \quad z_2= 1 \quad$ .

Le 2 coppie di soluzioni saranno:

$(0,1); (1,0)$

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