Esercizio 6 Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo

Traccia

$\begin{cases} x^2+y^2-(x+y)=4 \\ xy+2=0 \end{cases}$

Svolgimento

Per risolvere questo sistema bisogna prima di tutto ricondurlo in una forma particolare ricordando che:

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ ,

da cui avremo:

$\begin{cases} (x+y)^2-2xy -(x+y)-4=0 \\ xy=-2 \end{cases}$

Sostituendo ora il valore di $xy$ otteniamo:

$\begin{cases} (x+y)^2 -(x+y)=0 \\ xy=-2 \end{cases}$

Si deduce banalmente che la prima è facilmente riconducibile ad un’equazione del tipo:

$t^2-t=0 \Rightarrow t(t-1)=0$

Quindi avremo:

$\begin{cases} x+y=0 \\ xy=-2 \end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases} x+y=1 \\ xy=-2 \end{cases}$

che ammetteranno le due equazioni:

$z^2-2=0 \qquad \lor \qquad z^2-z-2=0$

che daranno come soluzioni:

$z_1= -\sqrt 2 \quad \lor \quad z_2= \sqrt 2 \quad$ la prima equazione e

$z_3= -1 \quad \lor \quad z_4= 2 \quad$ la seconda equazione.

Le 4 coppie di soluzioni saranno:

$(-\sqrt 2,\sqrt 2); (\sqrt 2,-\sqrt 2);(-1,2);(2,-1).$

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