Esercizio 2 Sistemi di equazioni di grado superiore al primo: 3 equazioni in 3 incognite

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Traccia

\begin{cases} x+y+2z=3 \\ x-2y-z=-24 \\ x^2+y^2+z^2=126 \end{cases}

Svolgimento

Il nostro scopo iniziale è quello di risolvere l’equazione di secondo grado, quindi usiamo il metodo di sostituzione nelle altre 2 equazioni, e sfruttiamo i risultati per la terza.

In questo caso se facciamo la differenza tra le prime due otteniamo:

\begin{cases} 3y+3z=27 \\ x=2y+z-24 \\ x^2+y^2+z^2=126 \end{cases}

\begin{cases} y+z=9 \\ x=2y+z-24 \\ x^2+y^2+z^2=126 \end{cases}

Dalla prima ricaviamo la y, così da poterci poi calcolare le due triple di risultati:

\begin{cases} y=9-z \\ x=2(9-z)+z-24 \\ x^2+y^2+z^2=126 \end{cases}

\begin{cases} y=9-z \\ x=18-2z+z-24 \\ x^2+y^2+z^2=126 \end{cases}

\begin{cases} y=9-z \\ x=-z-6 \\ (-z-6)^2+(9-z)^2+z^2=126 \end{cases}

\begin{cases} y=9-z \\ x=-z-6 \\ z^2+12z+36+81-18z+z^2+z^2=126 \end{cases}

\begin{cases} y=9-z \\ x=-z-6 \\ 3z^2-6z-9=0 \end{cases}

\begin{cases} y=9-z \\ x=-z-6 \\ z^2-2z-3=0 \end{cases}

La terza equazione è un trinomio speciale, e ammetterà come soluzioni:

z= -1 \quad \lor \quad z=3

da cui

\begin{cases} x=-5 \\ y =10 \\ z= -1 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x=-9 \\ y = 6 \\ z = 3 \end{cases}

 

 

 

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