Esercizio 3 Sistemi di equazioni di grado superiore al primo: 3 equazioni in 3 incognite

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Traccia

\begin{cases} x+y+z=3 \\ 3(x+z)=4+x+y \\ x^2+y^2=2-(x+z)(x-z) \end{cases}

Svolgimento

\begin{cases} x+y+z=3 \\ 3x+3z-x-y=4 \\ x^2+y^2=2-x^2+z^2 \end{cases}

\begin{cases} x+y+z=3 \\ 2x-y+3z=4 \\ 2x^2+y^2-z^2=2 \end{cases}

Il nostro scopo iniziale è quello di risolvere l’equazione di secondo grado, quindi usiamo il metodo di sostituzione nelle altre 2 equazioni, e sfruttiamo i risultati per la terza.

In questo caso se facciamo la somma tra le prime due otteniamo:

\begin{cases} 3x+4z=7 \\ y=2x+3z-4 \\ 2x^2+y^2-z^2=2 \end{cases}

Dalla prima ricaviamo la x, così da poterci poi calcolare le due triple di risultati:

\begin{cases} x=\frac {7-4z}{3} \\ y=2\frac {7-4z}{3}+3z-4 \\ 2x^2+y^2-z^2=2 \end{cases}

\begin{cases} x=\frac {7-4z}{3} \\ y=\frac {14-8z+9z-12}{3} \\ 2x^2+y^2-z^2=2 \end{cases}

\begin{cases} x=\frac {7-4z}{3} \\ y=\frac {z+2}{3} \\ 2(\frac {7-4z}{3})^2+(\frac {z+2}{3})^2-z^2=2 \end{cases}

\begin{cases} x=\frac {7-4z}{3} \\ y=\frac {z+2}{3} \\ 2(\frac {49-56z+16z^2}{9})+(\frac {z^2+4z+4}{9})-z^2=2 \end{cases}

\begin{cases} x=\frac {7-4z}{3} \\ y=\frac {z+2}{3} \\ \frac {98-112z+32z^2+z^2+4z+4-9z^2-18}{9}=0 \end{cases}

\begin{cases} x=\frac {7-4z}{3} \\ y=\frac {z+2}{3} \\ 24z^2 -108z +84=0 \end{cases}

\begin{cases} x=\frac {7-4z}{3} \\ y=\frac {z+2}{3} \\ 2z^2 -9z +7=0 \end{cases}

La terza equazione è un trinomio speciale, e ammetterà come soluzioni:

z= 1 \quad \lor \quad z=\frac 72

da cui

\begin{cases} x=1 \\ y =1 \\ z= 1 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x=-\frac 73 \\ y = \frac {11}{6} \\ z = \frac 72 \end{cases}

 

 

 

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