Dominio di una funzione

L’individuazione del dominio di una funzione è il passo base per la comprensione del carattere dello stesso. In parole povere è l’insieme dei valori che è possibile attribuire alla incognita $x$ affinchè sia possibile calcolare un valore della $y$ .

Se nelle funzioni razionali intere si può essere certi che il dominio è rappresentato dall’intero insieme dei numeri reali, $R$ , non è sempre vero per tuttu gli altri tipi di funzione per il quale è necessario cercare quali possono essere i valori da non considerare.

Mettiamo qui qualche esempio, ma per capire la ricerca del dominio sarà più apprezzato il guardare i vari esercizi svolti che troverete nelle varie pagine qui nel sito.

Funzioni Razionali Fratte: In queste funzioni il “problema” risulta essere il denominatore, in quanto per definizione di frazione, questo non può essere uguale a 0. Quindi, la ricerca del campo di esistenza (o dominio) si limita al cercare, nel caso ci siano, i valori che annullino il denominatore. Quindi, se avessimo $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ , basterà imporre $g(x) \ne 0$ .

Per rendere più semplice l’idea, forniamo qualche esempio:

$f(x)= \frac{8x+1}{x+2}$ ;

In questo caso bisogna studiare l’equazione $x+2 \ne 0$ , che ammette come soluzione $x \ne -2$ (per risoluzione vedere equazioni di primo grado); il dominio è così determinato $D=R - \{-2\}$ , oppure scritto sotto forma di intervallo è: $]-\infty, -2[ \, \, \cup \, \, ]-2, +\infty[$ .

$f(x)= \frac{4x-5}{x^2-1}$ ;

In questo caso bisogna studiare l’equazione $x^2-1 \ne 0$ , che ammette come soluzione $x \ne \pm 1$ (per risoluzione vedere equazioni di secondo grado); il dominio è così determinato $D=R - \{\pm 1\}$ , oppure scritto sotto forma di intervallo è: $]-\infty, -1[ \, \, \cup \, \, ]-1,1[ \, \, \cup \, \, ]1, +\infty[$ .

$f(x)= \frac{2}{x^2+2x+1}$ ;

In questo caso bisogna studiare l’equazione $x^2+2x+1 \ne 0$ , che ammette come unica soluzione $x \ne -1$ (per risoluzione vedere equazioni di secondo grado); il dominio è così determinato $D=R - \{ -1 \}$ , oppure scritto sotto forma di intervallo è: $]-\infty, -1[ \, \, \cup \, \, ]-1, +\infty[$ .

$f(x)= \frac{x^3-3x^2+5x-2}{x^2+2}$ ;

In questo caso bisogna studiare l’equazione $x^2+2 \ne 0$ , che non ammette soluzione (per risoluzione vedere equazioni di secondo grado); il dominio è così determinato $D=R$ , oppure scritto sotto forma di intervallo è: $]-\infty, +\infty[$ .

Funzioni logaritmiche: dato che per definizione di logaritmo, l’argomento di quest’ultimo DEVE essere strettamente positivo, la ricerca del dominio si limita a trovare per quali valori dell’incognita $x$ , l’argomento del dominio risulta essere strettamente positivo:

$f(x)= log (x+3)$ ;

In questo caso bisogna studiare la disequazione $x+3 > 0$ , che ammette come soluzione $x > -3$ (per risoluzione vedere disequazioni di primo grado); il dominio è: $]-3, +\infty[$ .

$f(x)= log (\frac{x+1}{x-2})$ ;

In questo caso bisogna studiare la disequazione $\frac{x+1}{x-2} > 0$ , che ammette come soluzione $x < -1 \, \, \lor \, \, x > 2$ (per risoluzione vedere disequazioni di secondo grado) ; il dominio è: $]-\infty, -1[ \, \, \cup \, \, ]2, +\infty[$ .

$f(x)= log (x^2+1)$ ;

In questo caso bisogna studiare la disequazione $x^2+1 > 0$ , che è verificata $\forall x \in R$ (per risoluzione vedere disequazioni di secondo grado) ; il dominio è: $R=]-\infty, +\infty[$ .

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