Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale

Considerata una funzione $y=f(x)$ , il valore del suo integrale definito varia a seconda dell’intervallo considerato. In particolare, se si fissa un estremo dell’intervallo, ad esempio l’estremo inferiore $a$ , e si fa variare l’estremo superiore $x$ , il valore dell’integrale dipende solo da tale estremo, ovvero è una funzione di $x$ .

Si denomina quindi funzione integrale $F(x)$ della funzione $y=f(x)$ nell’intervallo $[a;x]$ la funzione che associa ad ogni valore $x$ il valore $\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$ , ovvero

$F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$ .

Teorema fondamentale del calcolo integrale (o di Torricelli-Barrow)

Se $y=f(x)$ è una funzione continua in un intervallo $[a;b]$ , allora la funzione integrale $F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$ con $x\in[a;b]$ , è derivabile e risulta una sua funzione primitiva, ovvero $F'(x)=f(x) \forall x\in [a;b]$ .

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