Esempio 1

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\int \sqrt {1-x^2} \mathrm{d}x

La semplice sostituzione \sqrt {1-x^2}=t non risulta adeguata; è opportuno porre x=sent, da cui t=arcsenx, con -\frac {pi}{2} \leq t \leq \frac {pi}{2}, intervallo di invertibilità della funzione x=sent.

Da x=sent si ricava  \sqrt {1-sen^2 t}=cos t, poichè -\frac {pi}{2} \leq t \leq \frac {pi}{2} \rightarrow cost \geq 0. Differenziando ambo i mbembri dell’uguaglianza x=sent otteniamo \mathrm{d}x = cos t \mathrm{d}t, per cui, con la sostituzione nell’integrale assegnato, si ottiene:

\int \sqrt {1-x^2}\mathrm{d}x = \int cost * cost \mathrm{d}t = \int cos^2 t \mathrm{d}t

che, applicando, ad esempio, la formula di bisezione della funzione coseno

cos^2t = \frac {1+cos(2t)}{2},

si risolve come:

\int cos^2\mathrm{d}t =

= \int \frac {1+cos2t} 2 \mathrm{d}t =

= \int \frac 1 2 \mathrm{d}t + \int \frac {cos2t}{2}\mathrm{d}t =

= \frac 1 2 \int \mathrm{d}t + \frac 1 2 \int cos 2t \mathrm{d}t =

= \frac 1 2 t + \frac 1 2 \frac 1 2 \int 2 cos2t \mathrm{d}t =

= \frac 1 2 t + \frac 1 4 sen2t+k=

=\frac 1 2 t + \frac 1 4 2sen t*cos t+k=

= \frac 1 2 t + \frac 1 2 sentcost + k.

Tenendo presente che t=arcsenx, sent=x, e cost=\sqrt {1-x^2}, si ricava:

\int \sqrt {1-x^2} \mathrm{d}x=\frac 1 2 arcsen x + \frac 1 2 x \sqrt {1-x^2}+k.

 

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