Delta uguale 0

-1

Se \Delta=0, il trinomio a denominatore ammette due soluzioni reali e coincidenti x_1=x_2 e quindi risulta scomponibile nella forma ax^2+bx+c = a(x-x_1)^2.

Quindi, l’integrale del tipo

  • \int \frac {q}{ax^2+bx+c} \mathrm {d}x

può essere scritto nella forma:

\int \frac {q}{ax^2+bx+c} \mathrm {d}x=\int \frac {q}{a(x-x_1)^2} \mathrm {d}x=\frac q a \int (x-x_1)^{-2} \mathrm {d}x

e risolto applicando la regola di integrazione della potenza di una funzione ovvero

\frac q a \int (x-x_1)^2 \mathrm {d}x =\frac q a \frac {(x-x_1)^{-2+1}}{-2+1}+k=-\frac q a (x-x_1)^{-1}+k= -\frac {q}{a(x-x_1)}+k.

 

L’integrale del tipo:

  • \int \frac {px+q}{ax^2+bx+c} \mathrm {d}x

può essere scritto nella forma

\int \frac {px+q}{a(x-x_1)^2} \mathrm {d}x

e quindi risolto scomponendo la funzione integranda nella somma di due frazioni con A e B numeri reali da determinare applicando il principio di identità dei polinomi. Si ha quindi:

\int \frac {px+q}{a(x-x_1)^2} \mathrm {d}x=\int \frac {A}{a(x-x_1)} \mathrm {d}x + \int \frac {B}{a(x-x_1)^2} \mathrm {d}x = \frac A a ln |x-x_1| - \frac {B}{a(x-x_1)}+k.

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