Esercizio 4 integrali per parti

$\int 2x log (x-5) \mathrm{d}x$

$f(x)= log(x-5) \rightarrow f'(x)= \frac {1}{x-5}$

$g'(x)= 2x \rightarrow g(x)= x^2$

$\int 2x log (x-5) \mathrm{d}x = x^2log(x-5) - \int \frac {x^2}{x-5} \mathrm{d}x$

Analizziamo solo la seconda parte:

$\int \frac {x^2}{x-5} \mathrm{d}x= \int \frac {x^2-25+25}{x-5} \mathrm{d}x= \int \left(\frac {(x+5)(x-5)}{x-5} + \frac {25}{x-5}\right) \mathrm{d}x=$

$=\frac 12 x^2+5x+25log(x-5)$

Andando ad inserire questo risultato nell’integrale precedente otteniamo:

$\int 2x log (x-5) \mathrm{d}x=x^2log(x-5) -\frac 12 x^2-5x-25log(x-5)+c$

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