Esercizio 10 Problemi su triangoli e poligoni simili

Traccia

I cateti di un triangolo rettangolo sono lunghi 8,25 cm e 11 cm. Da un punto dell’ipotenusa che la divide, a partire dal vertice in comune con il lato minore, in parti proporzionali ai numeri 5 e 6 si conducono le parallele ai cateti. Determinare il perimetro delle tre parti in cui resta diviso il triangolo dato. (le parti in cui resta divisa l’ipotenusa sono 6,25 e 7,5 cm)

Svolgimento

Sia ABC rettangolo in A.

Dai dati avremo che:

$AB = 8,25 \mbox { cm}$

$AC = 11\mbox { cm}$

Si può subito trovare il valore dell’ipotenusa con il teorema di Pitagora:

$BC=\sqrt {AB^2+AC^2}=\sqrt {68,0625+121}\mbox { cm}=\sqrt {189,0625}\mbox { cm}=13,75\mbox { cm}$

Ricaviamo ora le parti in cui è divisa l’ipotenusa:

Date le proporzioni, poniamo:

$BD=5x$ e

$DC=6x$ .

Da qui avremo che:

$BC=BD+DC=5x+6x=11x=13,75\mbox { cm}$

Quindi:

$x=\frac {13,75}{11}\mbox { cm}=1,25\mbox { cm}$

Da cui si ottiene:

$BD = 6,25 \mbox { cm}$

$DC = 7,5 \mbox { cm}$ .
Analizziamo ora la figura e ci rendiamo conto che, per costruzione, AMDN risulta essere un rettangolo e i due triangoli MBD e NDC sono ambedue rettangoli e ambedue simili al triangolo ABC, avendo un angolo in comune e due angoli corrispondenti.
Avendo i lati in proporzione tra loro possiamo dire che