Esercizio 6 Problemi su triangoli e poligoni simili

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Traccia

In un triangolo rettangolo ABC i cateti AB e AC misurano rispettivamente, in centimetri, 15 e 36. Dal punto M del cateto AC, che lo divide, a partire dal vertice C, in due parti, una tripla dell’altra (CM=3MA), si conduce la parallela al cateto AB che incontra in N l’ipotenusa BC. Determinare il perimetro del trapezio AMNB.

Svolgimento

Dai dati ricaviamo subito le due parti in cui è diviso AC, sapendo che:

AC=AM+MC=AM+3AM=4AM=36 \mbox { cm}

Quindi:

AM=9 \mbox { cm}

MC=27 \mbox { cm}.

Ricaviamo ora l’ipotenusa BC con il teorema di Pitagora:

BC=\sqrt {AB^2+AC^2}=\sqrt {225+1296}\mbox { cm}=\sqrt{1521}\mbox { cm}=39\mbox { cm}

I due triangoli ABM e MNC sono simili per costruzione, allora possiamo ricavare NC e MN con le proporzioni:

NC : BC = MC : AC

NC=\frac {MC \cdot BC}{AC}=\frac {27 \cdot 39}{36} \mbox { cm}= \frac {117}{4} \mbox { cm}

MN :AB = MC : AC

MN=\frac {MC \cdot AB}{AC}=\frac {27 \cdot 15}{36} \mbox { cm}= \frac {45}{4} \mbox { cm}

Ricaviamo l’ultimo segmento che ci interessa, ovvero BN come differenza di lati:

BN = BC - NC = (39 - \frac {117}{4} \mbox { cm}= \frac {39}{4}\mbox { cm}

Possiamo ora calcolare il perimetro del trapezio AMNB:

2p_{AMNB}=(9+\frac {45}{4}+\frac {39}{4}+15)\mbox { cm}=45\mbox { cm}


 

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