Problema 1 Scientifico 2010

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PROBLEMA 1
Sia ABCD un quadrato di lato 1, P un punto di AB e \gamma la circonferenza di centro P e raggio AP. Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza\lambda passante per C e tangente esternamente a \gamma.

  1. Se AP = x, si provi che il raggio di \lambda in funzione di x è dato da f(x) = \frac {1-x}{1+x}.
  2. Riferito il piano ad un sistema di coordinate Oxy, si tracci, indipendentemente dalle limitazioni poste ad x dal problema geometrico, il grafico di f(x). La funzione f(x) è invertibile? Se sì, quale è il grafico della sua inversa?
  3. Sia g(x) =\left|\frac {1-x}{1+x} \right|, x \in R; quale è l’equazione della retta tangente al grafico di g(x) nel punto R (0, 1)? E nel punto S (1, 0)? Cosa si può dire della tangente al grafico di g(x) nel punto S ?
  4. Si calcoli l’area del triangolo mistilineo ROS, ove l’arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

 

 

 

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