Quesiti P.N.I. 2010

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QUESTIONARIO

 

  1. Sia p(x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è p^{(n)}(x) = n! a_n dove a_n è il coefficiente di x_n.
  2. Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo e P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli.
  3. Sia r la retta di equazione y=ax tangente al grafico di y=e^x. Quale è la misura in gradi e primi sessagesimali dell’angolo che la retta r forma con il semiasse positivo dell’asse delle ascisse?
  4. Si calcoli con la precisione di due cifre decimali lo zero della funzione f(x)=\sqrt[3] x +x^3-1. Come si può essere certi che esiste un unico zero?
  5. Sia G il grafico di una funzione x \rightarrow f(x) con x \in R. Si illustri in che modo è possibile stabilire se G è simmetrico rispetto alla retta x=k.
  6. Si trovi l’equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dal punto P di coordinate (3cost,2sent) al variare di t, 0 \leq t \leq 2\pi.
  7. Per la ricorrenza della festa della mamma, la sig.ra Luisa organizza una cena a casa sua, con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina. La sig.ra Anna è una delle invitate, e perciò ha almeno una figlia femmina. Durante la cena, la sig.ra Anna dichiara di avere esattamente due figli. Si chiede: qual è la probabilità che anche l’altro figlio della sig.ra Anna sia femmina? Si argomenti la risposta.
  8. Se n > 3 e \binom{n}{n-1}, \, \binom{n}{n-2}, \, \binom{n}{n-3} sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?
  9. Si provi che non esiste un triangolo ABC con AB = 3, AC = 2 e A\widehat{B}C=45^\circ. Si provi altresì che se AB = 3, AC = 2 e A\widehat{B}C=30^\circ, allora esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni.
  10. Si consideri la regione delimitata da y=\sqrt x, dall’asse x e dalla retta x = 4.
    L’integrale \int_0^4 2\pi x (\sqrt x) dx fornisce il volume del solido:
    a) generato da R nella rotazione intorno all’asse x;
    b) generato da R nella rotazione intorno all’asse y;
    c) di base R le cui sezioni con piani perpendicolari all’asse x sono semicerchi di raggio \sqrt x;
    d) nessuno di questi.

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