Quesiti Scientifico 2010

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QUESTIONARIO

 

  1. Sia p(x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è p^{(n)}(x) = n! a_n dove a_n è il coefficiente di x_n.
  2. Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo e P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli.
  3. Sia \gamma il grafico di f(x) = e^{3x}+1. Per quale valore di x la retta tangente a \gamma in (x, f(x)) ha pendenza uguale a 2?
  4. Si calcoli:

        \[\lim_{x \to \infty} 4x sen \frac 1x.\]

  5. Un serbatoio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 80 cm. Quale è la capacità in litri del serbatoio?
  6. Si determini il dominio della funzione f(x) = \sqrt {cosx}.
  7. Per quale o quali valori di k la funzione

        \[h(x)=\begin{cases} 3x^2-11x -4, \quad \quad x \leq 4 \\ kx^2-2x-1, \quad \quad x>4\end{cases}\]

     è continua in x = 4?

  8. Se n > 3 e \binom{n}{n-1}, \, \binom{n}{n-2}, \, \binom{n}{n-3} sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?
  9. Si provi che non esiste un triangolo ABC con AB = 3, AC = 2 e A\widehat{B}C=45^\circ. Si provi altresì che se AB = 3, AC = 2 e A\widehat{B}C=30^\circ, allora esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni.
  10. Si consideri la regione delimitata da y=\sqrt x, dall’asse x e dalla retta x = 4 e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all’asse y.

 

 

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