Problema 1.2 P.N.I. 2011

0

Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da f(x)= x + ln 4 + \frac {2}{e^x+1} e sia  \Gamma la sua rappresentazione grafica nel sistema di riferimento Oxy.

 

Si provi che, per tutti i reali m, l’equazione f(x) = m ammette una e una sola soluzione in R. Sia \alpha la soluzione dell’equazione f(x) = 3; per quale valore di m il numero -\alpha è soluzione dell’equazione f(x ) = m?

 

Dato che avremo:

f'(x)=1-\frac {2e^x}{(e^x+1)^2}=\frac {e^{2x}+1+2e^2-2e^x}{(e^x+1)^2}=\frac {e^{2x}+1}{(e^x+1)^2}, si ha che f'(x))>0, \forall x \in R, e quindi f(x) risulta crescente in R.

Avendo già calcolato i limiti nel punto 1, e notando che questi valgono esattamente  \pm \infty, allora ogni retta di equazione y=m intersecherà la funzione in un solo punto, e quindi l’equazione f(x)=m ammetterà una sola soluzione.

Se f(\alpha)=3 risulta che f(\alpha)+f(-\alpha)=2+2ln 4 e quindi f(-\alpha)=2+2ln4-3=2ln4-1, ovvero, -\alpha è soluzione dell’equazione f(x)=2ln 4-1.

Da cui:

m=2ln4-1.

 

 

Altri esercizi svolti

(Questa pagina è stata visualizzata da 3 persone)

Lascia un commento