Quesito 2 P.N.I. 2012

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Una moneta da 1 euro (il suo diametro è 23,25 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)?

 

Sia B(bordi) l’insieme costituito da tutti i lati delle mattonelle, S la superficie totale considerata e I l’area costituita da tutti i punti di S la cui distanza da un qualsiasi punto di B è maggiore o uguale di r, raggio della moneta.

Allora la probabilità richiesta è data dal rapporto di casi favorevoli e possibili. I primi si verificano quando il centro della moneta cade in un punto di I e quindi la probabilità cercata è:

p=\frac I S.

Detta M la superficie totale della mattonella e N quella della regione rappresentata in figura, vale la proporzione

N:I=M:S.

Allora:

\frac I S = \frac N M =p.

Inoltre

\frac N M =\frac {T} {T'},

dove T'=\frac N 6 e T=\frac M 6.

Sia l=100 \mbox { mm}, r=\frac {23,25}{2} \mbox { mm}, h=\left( \frac l2 \sqrt 3 -r\right) altezza di T'.

Si ha:

T=\frac {l^2}{4}\sqrt 3 \quad \mbox { e }\quad T'=\frac {h^2}{\sqrt 3}

per le formule sui triangoli equilateri.

Sostituendo il tutto otteniamo:

p\simeq 0,749.
 

 

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