Cosa rappresenta il limite seguente e qual è il suo valore?
![\[\lim_{h \to 0} \frac {5\left ( \frac 12 + h \right)^4 - 5 \left( \frac 12 \right)^4}{h} \]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9fc9fbd669d849f550f75f2a5058bfc5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il limite dato altro non è che un rapporto incrementale. Infatti, in generale, sappiamo che il rapporto incrementale di una funzione 
in un punto 
è dato da:
![\[\lim_{h \to 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h} .\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd9729b90f1e6dc974843674489bc550_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Quindi, considerando 
e 
otteniamo proprio la traccia.
Per calcolare tale limite osserviamo che 
è derivabile in 
, e da questo segue che al limite del rapporto incrementale coincide proprio la derivata calcolata nel punto.
![\[f'(x)= 20x^3 \Rightarrow f'(\frac 12)=\frac {20}{8}=\frac 52.\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4543b53f67104b38d847a29cf71a25ac_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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