Quesito 4 Scientifico 2012

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Quale è la capacità massima, in litri, di un cono di apotema 1 metro?

 

Sia x il raggio della circonferenza di base del cono (C.E. x>0) e a=1 il suo apotema. Per calcolare l’altezza h del cono sfruttiamo il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per cateti il raggio e l’altezza e per ipotenusa l’apotema. Otteniamo:

    \[h=\sqrt {1-x^2}.\]

La condizione di eistenza per h è 1-x^2>0, da cui si ricava |x|<1, che unita a x>0 ci da x \in (0,1). Ora, poichè sappiamo che il volume di un cono è pari a 1/3 del volume di un cilindro con stessa circonferenza di base e stessa altezza, calcoliamo il volume del cilindro in funzione di x ottenendo:

    \[V_{cil}(x)=A_b \cdot h=\pix^2\sqrt {1-x^2},\]

dove A_b indica l’area di base del cilindro. Da cui

    \[V_{cono}(x)=\frac 13 V_{cil}(x)=\frac {\pi x^2}{3}\sqrt {1-x^2}.\]

Per risolvere il problema dobbiamo quindi massimizzare la funzione V_{cono}(x) rispetto alla variabile x. Per farlo calcoliamo la sua derivata e ne studiamo il segno.

    \[V'_{cono}(x)= \frac 23 \pix \sqrt {1-x^2}-\frac {\pi x^2}{3}\frac {2x}{2\sqrt {1-x^2}}=\frac {2\pi x (1-x^2)-\pi x^3}{3 \sqrt {1-x^2}}=\]

    \[=\frac {2\pi x - 2 \pi x^3 - \pi x^3}{3\sqrt{1-x^2}}=\frac {2\pi x - 3 \pi x^3 }{3\sqrt{1-x^2}}=\frac {\pi x(2 - 3 x^2) }{3\sqrt{1-x^2}}.\]

Abbiamo V'_{cono}(x) \geq 0 se e solo se (2-3x^2)\geq0, in quanto il denominatore e il termine 2\pi x sono strettamente positivi (grazie alle condizioni poste su x) e dunque non influiscono sul segno della derivata.

Otteniamo quindi che:

    \[ V'_{cono}(x) \geq 0\iff 3x^2\leq 2 \iff x \leq \sqrt {\frac {2}{3}}=\frac {\sqrt 6}{3},\]

escludendo le soluzioni negative, e quindi, il punto x=\frac {\sqrt 6}{3} è un massimo in quanto per tale valore la derivata si annulla, e prima cresce e dopo decresce. Possiamo quindi calcolare il volume sostituendo tale valore di x in V_{cono}(x)

    \[V_{max}=\frac 69 \pi \frac 13 \frac {\sqrt 3}{3}=\frac {2\sqrt 3}{27}\pi.\]

 

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