Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad un retta r, nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r. Si risolva il problema nel modo che si preferisce.
Per costruire il percorso minimo considero i punti A’ e B’ simmetrici rispetto alla retta r dei punti A e B. Congiungo B’ con A e A’ con B e chiamo P l’intersezione.
Il percorso minimo sarà proprio quello realizzato dalla spezzata 
.
Dimostriamolo prendendo un qualsiasi altro punto P’ sulla retta e vediamo come la spezzata AP’ -P’B sia più lunga di quella passante per P.
Congiungiamo P’ con B’ e avremo quindi:
.
Sfruttando la proprietà dei triangoli per cui un lato è sempre minore della somma degli altri due, nel triangolo 
, avremo che:
![\[AP'+P'B' > AB'=AP+PB'=AP+PB.\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b194901b17b138484bd923f60259fae1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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