Problema 1 P.N.I. 2013

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Una funzione f (x) è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in [0, + \infty [ e nella figura sono disegnati i grafici \Gamma e \Lambda di f (x) e della sua derivata seconda f ''(x) . La tangente a \Gamma nel suo punto di flesso, di coordinate (2; 4) , passa per (0; 0), mentre le rette y = 8 e y = 0 sono asintoti orizzontali per \Gamma e \Lambda,  rispettivamente.

 

  1. Si dimostri che la funzione f '(x) , ovvero la derivata prima di f (x) , ha un massimo e se ne determinino le coordinate. Sapendo che per ogni x del dominio è: f ''(x) \leq f '(x) \leq f (x) , qual è un possibile andamento di f '(x) ?
  2. Si supponga che f (x) costituisca, ovviamente in opportune unità di misura, il modello di crescita di un certo tipo di popolazione. Quali informazioni sulla sua evoluzione si possono dedurre dai grafici in figura e in particolare dal fatto che \Gamma presenta un asintoto orizzontale e un punto di flesso?
  3. Se \Gamma è il grafico della funzione f(x)=\frac {a}{1+e^{b-x}}, si provi che a = 8 e b = 2.
  4. Nell’ipotesi del punto 3), si calcoli l’area della regione di piano delimitata da \Lambda e dall’asse x sull’intervallo [0, 2].

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